整数乘除法 - 写给青少年的 Python 数学课

1.2 整数乘除法¶

上一课我们学会了两个笨办法：加法是"接着数"，减法是"退一格"。

现在来了一道题：一箱苹果摆了 3 层，每层 4 个，一共多少个？用上一课的办法，你可以写 $4+4+4$ ——加三次。如果是 30 层呢？你真的要把 4 写 30 遍、加 29 次吗？

乘法，就是"重复加法"的简写。 反过来问：120 个苹果，每层摆 4 个，能摆几层？这次要重复的是减法——一直减 4，看能减几次。除法，就是"重复减法"的简写。

拖一拖，观察：

$a \times b$ 就是 $b$ 个 $a$ 相加：

a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{b\ \text{个}}

探索环节的长方形正是这个式子的样子——每一行都是一个 $a$ ，一共摆了 $b$ 行，数完所有格子，就是 $a \times b$ 。乘法没有引入任何新东西，它只是给"重复加法"起了个更短的名字。

代码解释：这段代码和上一课加法的代码几乎一模一样，唯一的区别是每次加的不是 1，而是 a。跑完 b 次循环，c 就变成了 $b$ 个 $a$ 相加的结果——也就是 $a \times b$ 。

拖一拖，观察：

除法是乘法反着做，也是减法重复做：从 $a$ 开始，一次减掉一整组 $b$ ，能减几次，商就是几；减到不够再减一整组时停下来，剩下的就是余数。

a \div b = q\ \text{余}\ r \quad\text{意思是}\quad a = b \times q + r,\ \ 0 \le r < b

探索环节里，每减掉一组，长条就短一截；减到剩下的格子不够一组（比 $b$ 少）时，剩下的那几格就是余数——它们不够再组成完整的一组 $b$ 。

提示：乘法的循环是"每加一次，c 变成 c + a"；除法的循环反过来是"每减一次，count（组数）该变成什么"，和上一课"退一格"用的是同一个技巧。

代码解释：while a >= b 表示"只要还够减一整组，就继续减"。每减一次，a 变小、count 变大；减到 a 比 b 还小时循环停止，此时 count 就是商，剩下的 a 就是余数。

古埃及人做乘法，从来不背乘法表——他们只会两件事：把一个数翻倍，和把两个数相加。要算 $13 \times 24$ ，他们把 24 不断翻倍（24、48、96、192……），再挑出几个翻倍结果加起来凑成 13 份。这个方法后来在俄国农村一直用到近代，被称为"俄罗斯农民乘法"。

它能成立，靠的正是本课的道理：乘法就是重复加法，只不过古埃及人找到了一条只需要"翻倍＋相加"就能抄近道的路。 这条"翻倍"的路，会在你们后面学"进位制"的时候再次出现——它其实就是二进制的雏形。

用"重复加法"算 $6 \times 5$ ，一共要把 6 加多少次？