整数加减法 - 写给青少年的 Python 数学课

1.1 整数加减法¶

远古人类没有数字，只会结绳计数：数一样东西，就在绳子上打一个结。要知道两堆东西一共多少，最笨也最可靠的办法是——把两根绳子接起来，从头数一遍。

现在假设你比结绳先进一点点，但也只会一件事：从一个数，数到它后面紧挨着的那个数（1 后面是 2，2 后面是 3……）。仅凭这一个本事，你能不能算出 $a+b$ ？

能。 $a+b$ 就是从 $a$ 开始，往后接着数 $b$ 个数。 数到哪里，哪里就是答案。这是历史上最古老的加法，也不需要背任何加法表。

拖一拖，观察：

两个数字的加法，最简单的理解就是数一下图中两条长条拼在一起一共有多少格：先数完 $a$ 条，不用停，接着往下数 $b$ 个格子，数到的最后一个数，就是 $a+b$ 。

这和探索环节滑杆上看到的完全一致：加法不是一个要背的规则，而是"接着数"这个动作本身。

代码解释：for 循环跑了 b 次，每次都让 c 变成"它后面紧挨着的那个数"（c = c + 1）。跑完 b 次，c 正好是从 a 往后数了 b 步的结果——这正是引入里"从 a 接着数 b 个"的字面翻译，一步没多，一步没少。

拖一拖，观察：

减法其实是加法反着做：加法是"数到后面紧挨着的那个数"，减法就是数到前面紧挨着的那个数——退一格。已知 $c = a + b$ （加完之后的结果）和 $b$ （加了多少个），从 $c$ 往回退 $b$ 格，退到哪里，哪里就是 $a$ 。

提示：加法每一步是 c = c + 1（数后面一个）；减法反过来，每一步应该是数前面一个。这里 a 记录当前数到的位置，把这一行补完，跑一跑，看 a 最后是不是变成了 3。

代码解释：a = c 先让 a 站在 c 所在的位置；这时的 a 还不是答案，只是一个正在往回走的数。循环每运行一次，a 就“退一格”；重复 $b$ 次后，a 才走到真正的答案。这和加法用的是同一个技巧，只是方向反了过来。

100 多年前，意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano）想把"自然数到底是什么"讲得清清楚楚，清楚到没有人能挑出一点毛病。他给自然数定的规则里，有一条是：每一个数，都有唯一一个"紧挨在它后面"的数。

这条规则不需要证明——数学家把这种"作为出发点、不用再解释为什么"的规则叫公理。皮亚诺就用这一条公理，把加法重新定义成：把"数下一个"这个动作，重复做 $b$ 次。

这正是你在代码里写的 c = c + 1。你写的这个循环，和皮亚诺一百多年前用来打地基的想法，是同一件事。

两堆东西一共有多少，先数哪一堆、再数哪一堆，总数都一样。

三堆东西，不管先合并哪两堆，最后的总数都一样。